Mediante ecuaciones diferenciales predeciremos el viaje del bote, esto en dos tramos, el primero muy corto en el cual el chorro impacta el bote, y el resto que sigue con velocidad retrasada por el roce con el agua, esto sin el impacto del chorro.
Para hacer este análisis necesitamos algunos datos relevantes.
- Coeficiente Beta de friccion del bote con el agua.
- Peso del bote.
- Distancia y/o tiempo de aplicación del chorro sobre el bote.
Coeficiente de roce viscoso
Para poder obtener el valor aproximado del coeficiente de roce viscoso con el agua introducimos nuestro bote al canal de hidraulica, medimos la velocidad del agua del canal con un marcador y cronometro, y conectamos el bote a un dinamometro capaz de registrar la fuerza que realiza el roce con el casco del bote.
Vemos en la foto el montaje realizado, el dinamometro marcando la fuerza que se ejerce sobre el casco del bote producto del flujo a su alrededor.Datos:
- Masa del bote+botella: 3kg.
- Velocidad de fluido en canal: 0.1766 m/s
- Marca del dinamometro : 0.1 Newton.
- Beta = 0.1N/0.1766m/s =0.566
- Caudal Q del chorro: 0,002 m3/s
- Diametro 1 pulgada
- Velocidad de salida de chorro: 4.074 m/s
Como estudiamos en la pasada entrega la fuerza del chorro es
F=2pQv
Por lo que remplazando con los valores obtenemos un aproximado de 16.3N de fuerza del chorro.
Estudiando nuestros videos y midiendo el chorro empiricamente logramos llegar a la conclución de que este chorro es relevante o bien actúa sobre el barco solamente por 0.22 segundos aproximadamente, esto midiendo con regla el punto en que dejaba de chocar con el propulsor.
Luego tendremos que resolver dos ecuaciones diferenciales, una para el lapsus 0-0.22 y 0.22-tfinal.
Ecuaciones de movimiento.
En este caso hemos utilizado las ecuaciones de la entrega pasada, esto resolviendo en maple nuestros dos sistemas de ecuaciones que recordaremos a continuacion.
Para el tiempo 0 a 0.22 segundos tenemos:
Para 0.22 a tfinal tenemos:
Entonces para cacular la aproximación del tiempo tuvimos que evaluar la primera ecuacion hasta 0.22 segundos ya que luego de eso el chorro no actua de forma relevante en el avance del barco.Luego remplazamos todos los valores que ya tenemos en nuestras ecuaciones y resolviendo en maple (adjuntamos el archivo de resolución completo para poder revisarlo), obtuvimos las ecuaciones de movimiento para ambos casos.
La resolucion numerica ha sido realizada en unidades del sistema internacional SI, metros segundos newtons, kg, etc.
Caso 1
Has click encima de la imagen para poder ver bien los datos.
Obtenemos la ecuacion de movimiento, con esto podemos obtener las condiciones de borde de la segunda ecuacion diferencial que son velocidad y posicion dadas por la primera ecuacion.Caso 2:
Has click encima de la imagen para ver bien los datos.
Vemos que con los datos entregados en caso 1 calculamos la velocidad para la siguiente etapa, la cual solo tiene acción negativa de la fuerza de roce viscoso.Veamos la velocidad al momento que deja de ser relevante la fuerza del chorro. Has click para ver bien los datos.
1.171 m/s al transcurso de 0.22 segundos, momento en que el chorro no actua mas.Resumiendo los calculos tenemos que la ecuacion de movimiento en el lapso posterior a la accion del chorro es:
La cual esta con punto referencia cero en 0.13 metros, punto donde el chorro deja de actuar.Luego resolvemos para que tiempo estaremos en 5-0.13 metros y sumamos 0.22 segundos iniciales.
Podemos ver que hemos llegado a una aproximación de 7.9 segundos en recorrer los 5 metros, esto es una aproximación ya que la lectura del dinamometro fue bastante insipiente, ademas de ser análoga, quizas con un dinamometro digital habria sido mas precisa, tambien no tomamos en cuenta la accion del roce con el aire, esperamos que esta sea una buena aproximación, la cual concuerda relativamente bien con nuestras pruebas empíricas.DESCARGA TODO EL ANÁLISIS MATEMATICO AQUI.
